為了準確計算出某時刻月球的準確位置,須計算月球黃經黃緯及距離的數百個周期項。這已超出本書的范圍,這里僅考慮主要的周期項,得到的黃經精度是10",緯度精度是4"。
利用本章描述的算法,可得到地心Date平黃道分點(譯者注:平黃道與平赤道的升交點,近似春風點)的月心位置坐標:黃經(λ)、黃緯(β)及地心到月心距離(Δ千米)。另外,赤道地平視差π由下式獲得:
sinπ=6378.14/Δ
一、計算方法:
本章的周期項是基于ELP-2000/82月球理論。但L',D,M,M',F平參數使用Chapront的改進表達式。
T使用21.1式計算,T表達為J2000起算的世紀數,并取足夠的小數位數(至少9位,每0.000 000 001世紀月球移動1.7角秒)。
使用以下表達式計算角度L',D,M,M',F,角度單位是度。為避免出現大角度,最后結果還應轉為0—360度。
月球平黃經： L'=218.3164591+481267.88134236T-0.0013268T^2+T^3/538841-T^4/65194000
月日距角： D =297.8502042+445267.1115168T-0.0016300T^2+T^3/545868-T^4/113065000
太陽平近點角：M =357.5291092+35999.0502909T-0.0001536T^2+T^3/24490000
月亮平近點角: M'=134.9634114+477198.8676313T+0.0089970T^2+T^3/69699-T^4/14712000
月球經度參數(到升交點的平角距離)：
F =93.2720993+483202.0175273T-0.0034029T^2-T^3/3526000+T^4/863310000
三個必要的參數:
A1=119.75+131.849T
A2= 53.09+479264.290T
A3=313.45+481266.484T
取和計算45.A表中各項(ΣI及Σr),取和計算45.B表中各項(Σb)。ΣI與Σb是正弦項取和,Σr是余弦項取和。正余弦項表達為A*sin(θ)或A*cos(θ)，式中的θ是表中D、M、M'、F的線性組合,組合系數在表45.A及45.B相應的列中,A是振幅。
以表45.A第8行為例:
I8 = A*sin(θ) = +57066 * sin( 2D-M-M'+0 )
r8 = A*cos(θ) = -152138 * cos( 2D-M-M'+0 )
同理可計算第1、2、3、4....各行,得到I1、I2、I3...及r1、r2、r3...
最后ΣI=I1+I2+I3+...；Σr=r1+r2+r3+...
然而,表中的這些項包含了了M(太陽平近點角),它與地球公轉軌道的離心率有關,就目前而言離心率隨時間不斷減小。由于這個原因,振幅A實際上是個變量(并不是表中的常數),角度中含M或-M時,還須乘上E,含2M或-2M時須乘以E的平方進行修正。E的表達式如下:
E = 1 - 0.002516T - 0.0000074T^2
此外,還要處理主要的行星攝動問題（A1與金星攝動相關,A2與木星攝動相關,L'與地球扁率攝動相關）：
ΣI += +3958 * sin( A1 )
+ 1962 * sin( L' - F )
+ 318 * sin( A2 )
Σb += -2235 * sin( L' )
+ 382 * sin( A3)
+ 175 * sin( A1 - F )
+ 175 * sin( A1 + F )
+ 127 * sin( L' - M')
- 115 * sin( L' + M')
最后得到月球的坐標如下:
λ = L'+ ΣI/1000000 (黃經單位:度)
β = Σb/1000000 (黃緯單位:度)
Δ = 385000.56 + Σr/1000 (距離單位:千米)
因45.A及45.B表中的振幅系數的單位是10^-6度及10^-3千米,所以上式計算時除以1000000和1000。
二、兩個計算用的表:
［表45.A］
月球黃經周期項(ΣI)及距離(Σr).
黃經單位:0.000001度,距離單位:0.001千米.
--------------------------------------------------
角度的組合系數 ΣI的各項振幅A Σr的各項振幅A
D M M' F (正弦振幅) (余弦振幅)
--------------------------------------------------
0 0 1 0 6288744 -20905355
2 0 -1 0 1274027 -3699111
2 0 0 0 658314 -2955968
0 0 2 0 213618 -569925
0 1 0 0 -185116 48888
0 0 0 2 -114332 -3149
2 0 -2 0 58793 246158
2 -1 -1 0 57066 -152138
2 0 1 0 53322 -170733
2 -1 0 0 45758 -204586
0 1 -1 0 -40923 -129620
1 0 0 0 -34720 108743
0 1 1 0 -30383 104755
2 0 0 -2 15327 10321
0 0 1 2 -12528 0
0 0 1 -2 10980 79661
4 0 -1 0 10675 -34782
0 0 3 0 10034 -23210
4 0 -2 0 8548 -21636
2 1 -1 0 -7888 24208
2 1 0 0 -6766 30824
1 0 -1 0 -5163 -8379
1 1 0 0 4987 -16675
2 -1 1 0 4036 -12831
2 0 2 0 3994 -10445
4 0 0 0 3861 -11650
2 0 -3 0 3665 14403
0 1 -2 0 -2689 -7003
2 0 -1 2 -2602 0
2 -1 -2 0 2390 10056
1 0 1 0 -2348 6322
2 -2 0 0 2236 -9884
0 1 2 0 -2120 5751
0 2 0 0 -2069 0
2 -2 -1 0 2048 -4950
2 0 1 -2 -1773 4130
2 0 0 2 -1595 0
4 -1 -1 0 1215 -3958
0 0 2 2 -1110 0
3 0 -1 0 -892 3258
2 1 1 0 -810 2616
4 -1 -2 0 759 -1897
0 2 -1 0 -713 -2117
2 2 -1 0 -700 2354
2 1 -2 0 691 0
2 -1 0 -2 596 0
4 0 1 0 549 -1423
0 0 4 0 537 -1117
4 -1 0 0 520 -1571
1 0 -2 0 -487 -1739
2 1 0 -2 -399 0
0 0 2 -2 -381 -4421
1 1 1 0 351 0
3 0 -2 0 -340 0
4 0 -3 0 330 0
2 -1 2 0 327 0
0 2 1 0 -323 1165
1 1 -1 0 299 0
2 0 3 0 294 0
2 0 -1 -2 0 8752
--------------------------------------------------
［表45.B］
月球黃緯周期項(ΣI).單位:0.000001度.
-------------------------------------
角度的組合系數 ΣI的各項振幅A
D M M' F (正弦振幅)
-------------------------------------
0 0 0 1 5128122
0 0 1 1 280602
0 0 1 -1 277693
2 0 0 -1 173237
2 0 -1 1 55413
2 0 -1 -1 46271
2 0 0 1 32573
0 0 2 1 17198
2 0 1 -1 9266
0 0 2 -1 8822
2 -1 0 -1 8216
2 0 -2 -1 4324
2 0 1 1 4200
2 1 0 -1 -3359
2 -1 -1 1 2463
2 -1 0 1 2211
2 -1 -1 -1 2065
0 1 -1 -1 -1870
4 0 -1 -1 1828
0 1 0 1 -1794
0 0 0 3 -1749
0 1 -1 1 -1565
1 0 0 1 -1491
0 1 1 1 -1475
0 1 1 -1 -1410
0 1 0 -1 -1344
1 0 0 -1 -1335
0 0 3 1 1107
4 0 0 -1 1021
4 0 -1 1 833
0 0 1 -3 777
4 0 -2 1 671
2 0 0 -3 607
2 0 2 -1 596
2 -1 1 -1 491
2 0 -2 1 -451
0 0 3 -1 439
2 0 2 1 422
2 0 -3 -1 421
2 1 -1 1 -366
2 1 0 1 -351
4 0 0 1 331
2 -1 1 1 315
2 -2 0 -1 302
0 0 1 3 -283
2 1 1 -1 -229
1 1 0 -1 223
1 1 0 1 223
0 1 -2 -1 -220
2 1 -1 -1 -220
1 0 1 1 -185
2 -1 -2 -1 181
0 1 2 1 -177
4 0 -2 -1 176
4 -1 -1 -1 166
1 0 1 -1 -164
4 0 1 -1 132
1 0 -1 -1 -119
4 -1 0 -1 115
2 -2 0 1 107
-------------------------------------
例.a—— 計算月球的地心黃經、黃緯、距離及赤道視差,時間1992年4月0時(力學時), 結果如下:
JDE = 2448724.5(儒略日) A1 = 109°.57
T = -0.077221081451 A2 = 123°.78
L'= 134°.290186 A3 = 229°.53
D = 113°.842309 E = 1.000194
M = 97°.643514 ΣI =-1127527 (含A1,A2等項)
M'= 5°.150839 Σb =-3229127 (含A1,A2等項)
F = 219°.889726 Σr =-16590875
從以上算出:
λ = 134°.290186 - 1°.127527 = 133°.162659
β = -3°.229127 = -3°13'45"
Δ = 385000.56 - 16590.875 = 368409.7 km
π = arcsine(6378.14/368409.7)=0°.991990=0°59'31".2
要獲得地心視黃經,還應加上黃經章動(Δψ),Δψ = +16".595 = +0°.004610，得到：
λ視=133°.162659 + 0°.004610 = 133°.167269 = 133°10'02"
瞬時黃赤交角 = 平黃赤交角(εo)+交角章動(Δε)：
ε=εo + Δε=23°26'26".29 = 23°.440636 (注:章動計算詳見21章)
這樣就可得到月球的地心視赤經和視赤緯:
α = 134°.688473 = 8h 58m 45s.2
δ = +13°.768366 =+13°46' 06"
利用完整的ELP-2000/82月球理論獲得的準確值是(注:不妨同以上計算結果比較)：
λ = 133°10'00" α = 8h 58m 45s.1
β = -3°13'45" δ = +13°46' 06"
Δ = 368405.6 km π = 0°59' 31".2
三、月球的升交點和近地點
根據Chapront[2],月球升交點(平)黃經Ω 及(平)近點角π,可由以下二式計算(單位是度)
Ω = 125.0445550 - 1934.1361849T + 0.0020762T^2 + T^3/467410 - T4/60616000
π = 83.3532430 + 4069.0137111T - 0.0103238T^2 - T^3/80053 + T4/18999000
式中T的單位與上文的相同(即:J2000起算的世紀數).這些經度是指黃經(Date平黃道分點起算的經度)。
從Ω的公式中,我們可以找到升(或降)交點等于春風點的瞬時,即Ω=0°或180°。在1910至2110期間,這種情況發生在如下日期:
----------------------------
Ω=0° Ω=180°
----------------------------
1913年05月27 1922年09月16
1932年01月06 1941年04月27
1950年08月17 1959年12月07
1969年03月29 1978年07月19
1987年11月08 1997年02月27
2006年06月19 2015年10月10
2025年01月29 2034年05月21
2043年09月10 2052年12月30
2062年04月22 2071年08月12
2080年12月01 2090年03月23
2099年07月13 2108年11月03